On the elementary symmetric functions of a sum of matrices

Abstract

A menudo, en matemáticas resulta útil resumir un fenómeno multivariante con un único número. De hecho, el determinante -que se denota por det- es uno de los casos más sencillos y muchas de sus propiedades son muy conocidas. Por ejemplo, el determinante es una función multiplicativa y multilineal, pero no es, en general, una función aditiva.

Otra función escalar interesante en el Análisis Matricial es el polinomio característico. De hecho, dada una matriz cuadrada A, los coeficientes de su polinomio característico son, salvo signo, las funciones simétricas elementales asociadas a los valores propios de A.

En el presente trabajo presentamos nuevas expresiones relacionadas con las funciones simétricas elementales de suma de matrices. La principal motivación de este manuscrito es tratar de encontrar nuevas propiedades para sondear la Conjetura de Bessis-Moussa-Villani: El polinomio Tr(A+Bt)^m, sólo tiene coeficientes no negativos siempre que sean matrices semidefinidas positivas.

Además, algunas evidencias numéricas y las fórmulas de Newton-Girard nos sugirieron considerar una conjetura más general que se estudiará en un manuscrito posterior.